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质数合数
1.如果正整数p和p+2都是大于3的素数,
求证:6
(p+1)
大于3的质数p只能具有6k+1,6k+5的形式.….
2.已知n为正整数,且
n4-16n2+
为质数,求n的值.
n4-16n2+
=(n2+6n+10)(n2-6n+10).….
3.已知正整数p,q都是质数,且
7p+q与pq+11
也都是质数,试求pq+qp的值
由pq+且pq+11是质数知
pq+11必为正奇质数,
从而p=2或q=2..…
4.已知三个素数的乘积恰等于其和的23倍,求这三个素数
pqr=23(p+q+r),.…
5.已知p,3p+2,5p+4,7p+6,9p+8,11p+10均为质数,
求证:6p+11是合数.
p必为5k+4的形式,此时,
6p+11=5(6k+7)必为合数
6.已知x,y,z是3个小于的正整数,
且xyz,x-y,x-z及y-z均是质数,
求x-z的最大值.
所求x-z的最大值为73.
7.三个内角的度数都是质数的三角形的种数(三个内角的度数对应相等的两个三角形视为一种)是()
A.7.
B.8.
C.9.
D.10
解:∵三个内角的和是°,是一个偶数,
∴必有一个内角为偶数,.…共7种.
8.三个不同的质数,a,b,c满足
abbc+a=,
则a+b+c=_______
.…a+b+c
=2+3+37
=42.
9.将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数(单位:厘米)的三角形,若这样的三角形的三边的长分别是a,b,c且满足a≤b≤c.
则(a,b,c)有_____组解,
所构成的三角形都是________三角形.
11+11+3=25,
7+7+11=25,
2组;
倍数约数整除
1.已知关于x的整系数的二次三项式
ax2+bx+c,
当x分别取1,3,6,8时,某同学算得这个二次三项式的值分别为1,5,25,50,经过验算,只有一个结果是错误的,这个错误的结果是____.
答案为25.
2.是否存在m,n整数,使得
5m2-6mn+2n2=成立
.…奇数的平方除以8余1,偶数的平方除以8余0或4,.…
3.设a,b,c为两两不相等的三个正整数,
证明:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3这三个数中至少有一个能被10整除.
.…在a,b,c三数,若有一个数是5的倍数,则得证命题.…
4.n是不为0的任意自然数,m是n-1,n,n+1,n2+1这四个自然数的乘积,
那么(1)m是不是6的倍数?
(2)m是不是5的倍数?
三个连续自然数的乘积,肯定既是2的倍数又是3的倍数.…
5.已知a=…(个5),
则a除以84所得余数是()
A.0
B.21
C.42
D.63
D由于84=4×3×7,且4,3,7两两互质.…
6.十进制中,六位数19xy78能被33整除,
求x和y的值
解:∵0≤x,y≤9,
∴0≤x+y≤18,
-9≤x-y≤9,
x+yx-y.…
7.已知
3+px+q能被(x-a)2整除.
求证:4p3+27q2=0.
证明:设x3+px+q
=(x-a)2(x+b)..…
8.已知
(x)=x2+bx+c
是g(x)=x4+6x2+25的因式,
也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.
求(1)的值.
∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,它们的和、差、倍也能被f(x)整除..…
9.已知:n为正整数.
求证:n3+3n2/2+n/2是3的倍数.
3!
n(n+1)(n+2),
且3!
n(n+1)(n-1)...…
10.整数n2.
求证:n5-5n3+4n能被整除..
∵(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
是五个连续整数,能被n!整除,.…
11.n是正偶数,a1,a2,…,an除以n,所得的余数互不相同;b1,b2,…,bn除以n,所得的余数也互不相同.
证明:a1+b1,a2+b2,…,an+bn除以n,所得的余数必有相同的.
这n个余数恰好是0,1,…,n-1…
12.求证三个连续整数的立方和是9的倍数
(n-1)3+n3+(n+1)3
=3n(n2+2)
13.计算
12+22+32+…+)÷5的余数是多少?
所以余数的大小分别是
1、0、4、0、0、
1、0、4、0、0、
1、…,每5个数一个循环,…
完
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